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Sistemas escalonados


Utilizamos la regla de Cramer para discutir y resolver sistemas lineales en los que el número de ecuaciones (m) es igual al número de incógnitas (no) Cuando m y no son más grandes que tres, es muy laborioso usar esta regla. Por lo tanto, usamos la técnica de asombroso lo que facilita la discusión y resolución de cualquier sistema lineal.

Decimos que un sistema, donde hay al menos un coeficiente distinto de cero en cada ecuación, se escalona si el número de coeficientes nulos antes del primer coeficiente distinto de cero aumenta de ecuación a ecuación. Para escalar un sistema, adoptamos el siguiente procedimiento:

a) Arreglamos como primera ecuación uno de los que tienen el coeficiente del primer desconocido distinto de cero.

b) Usando las propiedades de sistemas equivalentes, anulamos todos los coeficientes de la primera incógnita de las otras ecuaciones.

c) Repetimos el proceso con las otras incógnitas hasta que el sistema se escalone.

Apliquemos la técnica de programación, considerando dos tipos de sistema:

I. El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas (m = n)

Ejemplo 1:

1er paso: Anulamos todos los coeficientes del primer desconocido de la segunda ecuación aplicando las propiedades de los sistemas equivalentes:

  • Cambiamos la primera ecuación con la segunda ecuación, de modo que el primer coeficiente de x sea igual a 1.
  • Intercambiamos la segunda ecuación por la suma de la primera ecuación, multiplicada por -2, con la segunda ecuación:

  • Intercambiamos la 3a ecuación por la suma de la 1a ecuación, multiplicada por -3, con la 3a ecuación:

2do paso: Anulamos los coeficientes del segundo desconocido de la tercera ecuación:

  • Intercambiamos la 3a ecuación por la suma de la 2a ecuación, multiplicada por -1, con la 3a ecuación:

Ahora el sistema está escalonado y podemos resolverlo.

-2z = -6 z = 3

Reemplazando z = 3 en (II):

-7y - 3 (3) = -2 -7y - 9 = -2 y = -1

Reemplazando z = 3 e y = -1 en (I):

x + 2 (-1) + 3 = 3 x = 2

Entonces x = 2, y = -1 y z = 3

Ejemplo 2

1er paso: Anulamos todos los coeficientes del primer desconocido de la segunda ecuación:

  • Cambiamos la segunda ecuación por la suma del producto de la primera ecuación por -2 con la segunda ecuación:

  • Intercambiamos la 3a ecuación por la suma del producto de la 1ra ecuación por -3 con la 3a ecuación:

2do paso: Anulamos los coeficientes del segundo desconocido de la tercera ecuación:

  • Intercambiamos la 3a ecuación por la suma del producto de la 2a ecuación por -1 con la 3a ecuación:

De esa manera el sistema es asombroso. Como no hay un valor real de z tal que 0z = -2, el sistema es imposible.

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Video: Sistemas de Ecuaciones 3x3 - Escalonado (Febrero 2020).