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Función par e impar


Dada una función f: AB, decimos que f es pareja si y solo si f (x) = f (-x) para todo x A. Es decir: los valores simétricos deben tener la misma imagen. El siguiente diagrama muestra un ejemplo de una función par:

Por ejemplo, la función f: IRIR definido por f (x) = x2 es una función par porque f (x) = x2= (- x)2= f (-x). Podemos notar la paridad de esta función mirando su gráfica:

Observamos en el gráfico que existe una simetría con respecto al eje vertical. Los elementos simétricos tienen la misma imagen. Los elementos 2 y -2, por ejemplo, son simétricos y tienen la imagen 4.

Por otro lado, dada una función f: AB, decimos que f es extraño si y solo si f (-x) = - f (x) para todo x A. Es decir: los valores simétricos tienen imágenes simétricas. El siguiente diagrama muestra un ejemplo de función impar:

Por ejemplo, la función f: IRIR definido por f (x) = x3 es una función extraña porque f (-x) = (- x)3= -x3= -f (x). Podemos notar que la función es extraña mirando su gráfica:

Observamos en el gráfico que hay simetría con respecto al origen 0. Los elementos simétricos tienen imágenes simétricas. Los elementos 1 y -1, por ejemplo, son simétricos y tienen imágenes 1 y -1 (que también son simétricas).

Nota: Una función que no es par ni impar se llama sin función de paridad.

Ejercicio resuelto:

Ordene las siguientes funciones en paridad par, impar o nula:

a) f (x) = 2x
f (-x) = 2 (-x) = -2x f (-x) = -f (x), entonces f es extraño.

b) f (x) = x2-1
f (-x) = (-x)2-1 = x2-1 f (x) = f (-x), entonces f es pareja.

c) f (x) = x2-5x + 6
f (-x) = (-x)2-5 (-x) +6 = x2+ 5x + 6
Como f (x)f (-x), entonces f no es par.
También tenemos que -f (x)f (-x), entonces f no es extraño.
Como no es par ni impar, concluimos que f es una función Sin paridad.

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