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Función inversa


Considere los conjuntos A = {0,2,4,6,8} y B = {1,3,5,7,9} y la función f: AB se define por y = x + 1. La función f se representa en el siguiente diagrama:

La función f es biyector. Cada elemento x de A está asociado con un solo elemento y de B, de modo que y = x + 1. Sin embargo, dado que f es un biyector, cada elemento y de B está asociado con un solo elemento x de A, de modo que x = y-1; entonces tenemos otra función g: BA, de modo que x = y-1 o g (y) = y-1. Esta función se representa en el siguiente diagrama:

Por lo que acabamos de ver, la función f lleva x a y, mientras que la función g lleva y a x. La función g: BA lleva el nombre de función inversa de f y está indicado por f-1.

El dominio de f es el conjunto de imágenes de g, y el conjunto de imágenes de f es el dominio de g. Cuando queremos, de la oración y = f (x), obtener la oración de f-1(x), debemos realizar los siguientes pasos:

1º) Aislamos x en la oración y = f (x)
2) Como es habitual la letra x como símbolo de la variable independiente, intercambiamos x por y e y por x.

Por ejemplo, para obtener la función inversa de f: IRIR definido por y = 2x + 1, debemos:

1) aislar x en y = 2x + 1. Entonces y = 2x + 1 y-1 = 2x x = (y-1) / 2
2) intercambia x por y e y por x: y = (x-1) / 2.

Entonces la función inversa de f es: f-1(x) = (x-1) / 2.

Nota: para que una función f admita la inversa f-1 ella necesita ser una bijetora. Si f no es un bijet, no tiene inversa.

Ejercicio resuelto

* Este contenido fue creado por Just Mathematics. Los gráficos y diagramas fueron tomados del libro Matemáticas - Volumen único. Ed. Salve.

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