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Potenciación y enraizamiento de números complejos en forma trigonométrica


Potenciación

Ser y no un entero mayor que 1tenemos:

Así:

Esta fórmula se conoce como Primera fórmula de Moivre.

Ejemplo

Calcular :

Consideremos para luego calcular . Para aplicar la primera fórmula de Moivre, necesitamos calcular el módulo y el argumento de z.

Módulo:

Argumento:

Calculando :

Enraizamiento

Si , sus raíces enésimas están dadas por:

Esta expresión se conoce como 2da Fórmula de Moivre.

Ejemplo

Determinar las raíces cúbicas de z = 8.

Resolución

Calculemos el módulo y el argumento de z para la aplicación de la segunda fórmula de Moivre:

Módulo:

Argumento:

Las raíces cúbicas de 8 son dados por:


El número k puede asumir los valores 0, 1 y 2:

Geométricamente, tenga en cuenta que las tres raíces están sobre una circunferencia de radio. 2 y son vértices de un triángulo equilátero; sus argumentos forman un PA, cuyo primer término es 0 y el razon é.

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