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Respuesta al desafío 18


Bolas rectas

Este es un problema matemático de la Olimpiada. Si las bolas de 1999 son del mismo color, la sucesión de números aumenta o disminuye. Cada número aparece solo una vez y hay 1999 (por lo que no hay exactamente 3 números que se repitan un número impar de veces (1 es impar), por lo que hay bolas de ambos colores.

Dada una distribución de las bolas que tiene en cierta posición una bola azul Un y en la siguiente posición una bola roja Rsi hay el canicas azules a la izquierda de Un y r bolas rojas a su derecha, así que hay el + 1 bolas azules a la izquierda de R y r - 1 bolas rojas a tu derecha. El número escrito debajo Un é no = el + r y el número escrito debajo R é el + 1 + r - 1 = n.

Si cambiamos de lugar Un y R, y no movimos ninguna otra bola, en la nueva distribución hay el canicas azules a la izquierda de R y r - 1 bolas rojas a su derecha, mientras que a la izquierda de Un hay el bolas azules y a su derecha r - 1 bolas rojas. Los números escritos a continuación R y Un son a + r - 1= n - 1 y a + r - 1 = no - 1. Los números escritos debajo de las otras bolas no cambian.

Entonces, después del intercambio, el número no se repite dos veces menos y el número no - 1 repite dos veces más. Los números que se repiten un número impar de veces serán los mismos en ambas configuraciones.

Por lo tanto, solo estudie la configuración en la que todas las bolas rojas son consecutivas desde el primero, y todas las azules son consecutivas desde el último rojo.

Sean a, b las cantidades de bolas rojas y azules, respectivamente; entonces a + b = 1999. Debajo de la primera bola (es roja) está el número a - 1, el siguiente, a - 2, luego a - 3, y así sucesivamente, hasta que tenga 0 en la última bola roja (en la posición a ) Entonces, debajo de la primera bola azul hay 0, en la segunda 1 y así sucesivamente, hasta la última, que tiene b - 1 debajo.

Si a <b, los números 0, 1, 2, ..., a - 1 aparecen dos veces (cantidad par) y los números a, a + 1, a + 2, ..., b - 1 aparecen una vez (cantidad impar) . Si hay exactamente 3 números que aparecen un número impar de veces, estos son a, a + 1 y a + 2 = b - 1. Por lo tanto, a + b = 2a + 3, por lo tanto a = 998, y los tres números repetir una cantidad impar de veces son 998, 999 y 1000.

Si a> b, los tres números que aparecen un número impar de veces son b, b +1 y b + 2 = a - 1, donde a + b = 2b + 3 y los tres números son nuevamente 998, 999 y 1000 .

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