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Números complejos


La teoría de números es la rama de las matemáticas que investiga las propiedades de los números naturales o enteros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... Los números naturales surgen del proceso de conteo y es imposible imaginar a la humanidad sin la capacidad de contar. . El concepto de número natural era axiomatizado (los axiomas son declaraciones aceptadas como verdades tempranas sin demostración) en 1889 por el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), en una de las primeras manifestaciones de Axiomática moderna y abstracción matemática. Los matemáticos han extendido los números naturales a enteros, racionales, irracionales, complejos, cuaterniones, octoniones, números de Cayley, ...

Es imposible imaginar la teoría de números desprovista de la rica y poderosa teoría de funciones de una variable compleja. Uno de los ejemplos más importantes es la función de una variable compleja llamada Función Zeta de Riemann que proporciona información sobre la distribución de números primos. Se define por:

donde s = c + yo d es un número complejo y c >1.

Esta función es la clave para la demostración del teorema del número primo que establece que el número primos p tal que p es menor o igual que x, es aproximadamente

cuando x es muy grande. Este teorema fue conjeturado por Gauss y Legendre, y demostrado por Hadamard y La Vallée Poussin en 1898.

La historia de los números complejos es fascinante. Los registros históricos muestran que para el año 2500 a. C. los sumerios ya necesitaban resta. Los números que conocemos como enteros negativos son el resultado de ciertas sustracciones. Por ejemplo, en notación moderna, el resultado de la resta 5 - 10 es -5. Los matemáticos no han resistido, a lo largo de la historia, la presión de la curiosidad de multiplicar números negativos dando lugar al conjunto numérico que actualmente llamamos el conjunto de números enteros: {0, ± 1, ± 2, ± 3 ...}. Los pitagóricos (550 aC) creían que el mundo podía ser entendido por razones de la forma. m/no (racional) con m y no natural y no distinto de cero Sin embargo, este modelo del mundo colapsó cuando se descubrió que la medida de la diagonal del cuadrado, con lados que miden 1, es . Ahora ¡No es una razón natural! Además, los pitagóricos descubrieron muchos otros de este tipo: , , , ,…

Por lo tanto, debido a las necesidades intrínsecas de la investigación matemática, el universo de los números naturales se ha expandido ampliamente. Durante el desarrollo del álgebra en la Edad Media, los matemáticos italianos exploraron varios tipos de ecuaciones y clasificaron sus soluciones. Esta investigación mostró que algunas ecuaciones no tenían solución en términos de números conocidos. Uno de los problemas enfrentados consistió en resolver la ecuación x² + 1 = 0. Esta ecuación no parecía tener una solución porque contradecía el hecho de que cada número real que no sea cero, cuando se eleva al cuadrado, es positivo. Los matemáticos indios y árabes, cuando se enfrentaron a estas ecuaciones, se negaron a definir cualquier símbolo para expresar la raíz cuadrada de un número negativo porque consideraban que el problema no tenía sentido. En el siglo XVI, las raíces cuadradas de los números negativos comenzaron a aparecer en los textos algebraicos, pero los autores enfatizaron que las expresiones carecían de sentido y utilizaron términos como "ficticio", "imposible", "sofisticado" para mencionarlos. El matemático alemán Leibniz (1646-1716), uno de los inventores del cálculo diferencial, atribuyó a la raíz cuadrada de -1 un cierto carácter metafísico al interpretarlo como una manifestación del "Espíritu Divino"; La misma sensación de asombro le sucedió al matemático suizo Lenhard Euler.

Algunos matemáticos europeos, en particular los italianos Gerolamo Cardano y Rafaello Bombelli, introdujeron números complejos en álgebra durante el siglo XVI cuando asumieron la existencia de raíces cuadradas de números negativos, aunque consideraron tales raíces "números imposibles" y por lo tanto , llámalos "números imaginarios". Por esta razón, hasta el día de hoy el nombre de los números imaginarios permanece cuando nos referimos a las raíces cuadradas de los números negativos. Postulando la existencia de raíces cuadradas de enteros negativos, y suponiendo que yo es la solución de la ecuación x² + 1 = 0, es decir, axiomatizando que yo satisfacer la relación yo² = -1, puede realizar operaciones que involucren yo y los números reales Entonces, para cualquier número real positivo el, la raíz cuadrada del número negativo -el é yo , o sea, = yo . Dados los números reales c y d, podemos multiplicar d por yo y obtener yo dy agregar a c conseguir c + yo d. En general, cualquier número complejo se escribe como c + d yodonde c se llama la "parte real" y d "Parte imaginaria". Entonces obtenemos números de la forma c + yo d formando el conjunto de números complejos. En el conjunto de números complejos, podemos sumar y multiplicar formando una estructura algebraica llamada cuerpo de números complejos.

Los matemáticos a menudo representan números reales como puntos en una línea llamada línea real, donde cada punto corresponde a un solo número real y cada número real asocia un solo punto en esa línea. Dado que la raíz cuadrada de un número negativo no se puede representar en esta línea, el estancamiento persistió hasta el siglo XIX. El primero en proponer una visualización Uno de los complejos que los identificó como puntos en el plano bidimensional fue el autodidacta noruego Caspar Wessel en 1797. Esta idea fue redescubierta por Jean-Robert Argand, un contador suizo, que publicó un libro en 1860 sobre el tema, y ​​también por el matemático alemán Karl Friedrich Gauss. Como era imposible asociar un punto de la línea real con la raíz cuadrada de un número negativo, el problema se resolvió asociando los números imaginarios con puntos en una línea perpendicular a la línea real, pasando por cero y creando así un sistema de coordenadas cartesianas. . En este sistema, los números reales se colocan en el eje horizontal, llamado eje real, y todos los números imaginarios en la línea perpendicular a la línea real, pasando por el cero de la línea real horizontal, llamada eje imaginario. Como = = yo , todos los números imaginarios se pueden colocar en el eje imaginario como múltiplos de yo = . Por lo tanto, no solo el imaginario tiene una representación gráfica, sino que las posibles combinaciones de real e imaginario, es decir, los números complejos, están representados por puntos en el plano definido por los ejes real e imaginario, llamados plan complejo.

El talento y el genio de Gauss llevaron a uno de los resultados más profundos de las matemáticas, el Teorema del álgebra fundamental, que establece que cada ecuación polinómica tiene una solución en el cuerpo de números complejos. Además de este resultado muy importante, el álgebra de números complejos ha dado lugar a una nueva área de investigación, el Análisis complejo, que desempeña un papel clave en el desarrollo de Álgebra y Teoría de números. Los números complejos representan una de las estructuras más importantes de la ciencia. Hoy en día, es imposible imaginar ingeniería eléctrica, aerodinámica o dinámica de fluidos sin números complejos. La mecánica cuántica hace uso de números complejos y, en la teoría de la relatividad de Einstein, el espacio tridimensional se ve como real y la dimensión temporal como imaginaria.

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