Informacion

Los trajes pitagóricos


La teoría de números es el área de las matemáticas que investiga las relaciones profundas y sutiles entre los enteros positivos. Pitágoras y sus seguidores vincularon estos números con la geometría, y así comenzaron uno de los hilos más exitosos de la teoría de números, a saber, el binomio: aritmética y geometría. Alrededor de 1700 aC se encontraron tablas en Babilonia que contienen listas de números enteros con la propiedad de que uno de los números al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. Debido a que tales listas eran extensas, se cree que los babilonios ya tenían un método sistemático para generar tales trajes. Existen registros históricos que prueban la existencia y el uso de tales tablas en el antiguo Egipto. Considere los cuadrados de los números naturales 1², 2², 3², 4², 5², ... Si tomamos la suma de dos cuadrados, finalmente obtendremos otro cuadrado. El ejemplo más famoso de este hecho es: 3² + 4² = 5², pero hay otros ejemplos: 5² + 12² = 13², 20² + 21² = 29², y muchos otros. Sin embargo, 2² + 3² = 13 no es un cuadrado. Por lo tanto, es natural preguntar si hay un número infinito de trajes pitagóricos. La respuesta es sí y la razón es muy simple: si (x, y, z) es una oferta de Pitágoras, entonces al multiplicarlo por un número entero positivo c, obtenemos (cx, cy, cz) que es una nueva oferta de Pitágoras, por lo tanto, (cx) ² + (cy) ² = c² (x² + y²) = c²z² = (cz) ². Por otro lado, estos trajes no son los más interesantes, por lo que definimos trajes primitivos, es decir, aquellos en los que a, byc no tienen un factor común y satisfacen la relación x² + y² = z².

Por otro lado, los pitagóricos estaban interesados ​​en los triángulos rectangulares cuyos collares tienen una longitud entera x e y y la longitud z de la hipotenusa se relaciona con x e y de modo que z² = x² + y². Tal relación es el famoso Teorema de Pitágoras. La búsqueda de todos los enteros positivos que satisfacen la identidad x² + y² = z² es equivalente al problema de determinar todos los triángulos rectángulos cuyos lados son enteros.

Los pitagóricos fueron, alrededor del año 600 a. C., los primeros en dar un método para determinar infinitos trajes de este tipo, hoy llamados trajes pitagóricos. Usando la notación actual, describimos el método de la siguiente manera: sea x = n, y = 1 (n² -1), z = 1 (n² + 1) donde n es un entero impar mayor que 1; entonces el tendón resultante (x, y, z) es un terno pitagórico donde z = y + 1. Note algunos ejemplos: 3² + 4² = 5², 5² + 12² = 13², 7² + 24² = 25², 9² + 40² = 41², 11² + 60² = 61². Tenga en cuenta que hay otros trajes distintos a estos: por ejemplo, cuando z = y + 2, es decir, 8² + 15² = 17², 12² + 35² = 37², 16² + 63² = 99², 20² + 65² = 101². El filósofo Platón (430 - 349 a. C.) ha encontrado otro método para determinar todas estas tendencias, que en notación moderna son las fórmulas: x = 4n², y = 4n² -1, z = 4n² +1. El matemático griego Tales of Miletus provocó un cambio sustancial en el conocimiento cuando convirtió las matemáticas que se habían practicado como alguna forma de numerología en una ciencia deductiva. Alrededor de 300 a. C., cuando Euclides publicó la colección de 13 libros llamados Elementos, todos los hechos matemáticos presentados se demostraron formalmente. En el décimo libro, Euclides dio un método para obtener todos los trajes pitagóricos. Aunque no presentó una demostración formal de su método, Euclides obtuvo todos los trajes. Usando la notación actual, el método consiste en las siguientes fórmulas: x = t (a²-b²), y = 2tab, z = t (a² + b²) donde t, a, yb son enteros positivos arbitrarios tales que a> b, a y b no tienen factores comunes, y si a es impar, entonces b es par y viceversa. Esto resuelve completamente el problema natural de saber cuáles son todo los trajes pitagóricos.

Volver a las columnas

<