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Enteros gaussianos y los orígenes de la teoría algebraica de números II


Las matemáticas son la reina de la ciencia, y la teoría de números es la reina de las matemáticas.
C. F. Gauss

La teoría de números algebraicos fue creada en la segunda mitad del siglo XIX en las obras de los matemáticos Ernest Kummer (1810-1893), Richard Dedekind (1831-1916) y Leopold Kronecker (1823-1891). Esta teoría tuvo su origen cuando el matemático alemán Carl F. Gauss (1777-1855) extendió la idea del número entero definiendo el anillo de los números algebraicos gaussianos, Zyo, y luego en un intento de demostrar el último teorema de Fermat. La teoría algebraica de números es una de las teorías más bellas y profundas de todas las matemáticas.

La primera motivación de esta investigación se refiere a la generalización del teorema de representación única de los enteros como producto de números primos, menos que el orden de los factores, a los enteros algebraicos. Gauss introdujo el anillo de enteros algebraicos, Zyo, durante su investigación de residuos bikadraticos, y demostró que en este anillo existe la factorización en elementos primos, y es única menos que el orden de los factores.

La factorización de un número depende mucho del anillo al que pertenece y, por lo tanto, para generalizar la unicidad de la factorización de enteros, es necesario trabajar en subanillos apropiados del cuerpo de números complejos.

La segunda motivación para el estudio de la aritmética de números algebraicos proviene de la Teoría de las ecuaciones diofantinas. Por ejemplo, una forma cuadrática definida sobre un anillo A es un polinomio homogéneo tal que los coeficientes son elementos de A, es decir, polinomios de la forma f(x, y) = Hacha2 + Bxy + Cy2 donde Un, B, C pertenecer al anillo A. Si tomamos la forma cuadrática sobre el anillo de enteros

f(x, y) = x2 - D y2

donde D es un entero y ÖD no es un entero, se puede escribir en la forma

f(x, y) = x2 - D y2 = (x - ÖD y) (x + ÖD y).

Por lo tanto, la pregunta sobre la posibilidad de la representación de enteros r por r = el2 - DB2 = f(el, b) donde el y b son enteros, se reformula como factorización de números algebraicos del anillo ZÖD, es decir, números de la forma el + bÖD.

Estas motivaciones dejan en claro la importancia de los anillos Z ÖD y Z yo.

A principios de la década de 1840, Kummer consideró la forma del anillo de los números.

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elp-<>

1V<>

p-<>

1<>

+ elp-2 V<>

p-<>

2<>

+… + el1V<>

+ el0

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donde elp-1, elp-2,… , el1 y el0 son números enteros p es un número primo impar y V una raíz primitiva p-th de la unidad, es decir, un número complejo V tal que Vp = 1 y V Como 1. Dado que este anillo generalmente no tiene la propiedad de factorización única en números primos, Kummer lo arregló introduciendo la noción de "números ideales", que dio lugar a la noción de "ideal" debido a Dedekind, y mostró eso valió la factorización única en números primos ideales. Con este concepto, demostró el último teorema de Fermat, en muchos casos nuevo en ese momento, utilizando la identidad de

xp - yp = (x - y) (x - Vy)… (x - Vp - 1y ) .

Esta teoría tomó una forma diferente de lo que Kummer nos legó. Sin embargo, los resultados profundos de Kummer en cuerpos ciclotómicos, es decir, cuerpos de la forma Q (w) donde w es una raíz primitiva no-th de la unidad, sirvió como paradigma para los investigadores posteriores.

Kronecker y Dedekind tardaron unos 30 años en encontrar la generalización correcta de los números ideales. Se observó que era necesario definir la noción de entero algebraico.

Un número entero algebraico es un tipo particular de número complejo, es decir, un número complejo que es la solución de una ecuación polinómica.

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+ elno-1 xno-1+… + el1x + el0 = 0,

donde todos los coeficientes elno, elno-1,… , el1, el0 son enteros Por ejemplo, la unidad imaginaria, yo, es un entero algebraico porque satisface la ecuación x2 + 1 = 0. La raíz cuadrada de 7, Ö7, es un entero algebraico porque satisface la ecuación x2 - 7 = 0. Tenga en cuenta que los números yo, Ö7 son ejemplos de enteros algebraicos y no son enteros.

Los anillos enteros algebraicos representan el concepto central de la teoría de números algebraicos. Para ser exactos: uno cuerpo de números algebraicos, K, y su corresponsal anillo entero algebraico, DK. Un cuerpo de números algebraicos, K, es un subcuerpo del cuerpo de números complejos que, cuando se ve como un espacio vectorial sobre racionales, Q tiene una dimensión finita. Los enteros algebraicos contenidos en K forman un anillo DK, que es la estructura apropiada para la generalización de la factorización única en números primos.

En términos generales: si w es un número algebraico arbitrario y tomamos el cuerpo K = Q (w), considere el distinguido subanillo DK anillo llamado anillo entero algebraico de K. Los elementos de DK son números complejos contenidos en K = Q (w) que son soluciones de ecuaciones polinómicas

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+ elno-1 xno-1+… + el1x + el0 = 0,

donde todos los coeficientes elno, elno-1,… , el1, el0 son enteros

Tenga en cuenta que la relación entre DK y K es análogo a la relación entre Z y Q. Sin embargo, la factorización prima tiende a fallar para los elementos del anillo entero, pero no para los ideales.

Llamamos la atención del lector sobre el hecho de que cuando tomamos el cuerpo K = Q (w), donde w es un número algebraico arbitrario, entonces el anillo de enteros algebraicos no siempre tiene la forma DK = Z w. Por otro lado, es cierto que Z w está contenido en DK,porque DK es un anillo que contiene w. Por ejemplo, Q (Ö5) es un cuerpo de números algebraicos. De hecho, el número complejo Ö5 es la raíz del polinomio. p(x) = x2 - 5, por lo tanto, un número algebraico, y Q (Ö5) es un espacio vectorial de dimensión finita igual a 2 sobre Q, siendo una base el conjunto {1, Ö5}. Sin embargo, Z Ö5 no es tu anillo entero. De hecho, el número complejo (1 + Ö5) / 2 es la raíz del polinomio. p(x) = x2 - x - 1, por lo tanto, un entero algebraico perteneciente a Q (Ö5). Por lo tanto, el número complejo (1 + Ö5) / 2 pertenece al anillo de enteros algebraicos DK, pero no pertenece a Z (Ö5) porque el número 1/2 no es un entero.

El matemático Dedekind reformuló el concepto de Kummer del número ideal, proponiendo el concepto clave fundamental del "ideal" que permanece hoy. La definición de Dedekind es distinta de la definición de Kummer, pero se muestra que son equivalentes. En esta teoría, los bloques de construcción esenciales son los ideales principales. Está demostrado que en los anillos enteros algebraicos cada ideal distinto de cero tiene una factorización única en los poderes de los ideales primarios.

La teoría de los ideales algebraicos de anillos enteros se creó para proporcionar nuevos métodos clásicos de resolución de problemas de la teoría de números. El desarrollo de métodos en Teoría de números algebraicos sigue siendo un área importante de investigación en Teoría de números.

La abstracción de las propiedades más esenciales de los anillos enteros algebraicos dio lugar a axiomas que definieron una nueva clase de anillos llamados Dedekind Domains, como lo demostró el brillante matemático alemán Emmy Noether (1882-1935). La clase de dominio de Dedekind es mucho más grande que la clase original de anillos enteros algebraicos. La invariante básica de un anillo Dedekind es su grupo de clases ideales, grupo de clase en inglés, y su cardinalidad se llama el número de clases ideales, numero de clase en ingles. Este suele ser un grupo abeliano infinito. Sin embargo, siempre es un grupo finito para anillos enteros algebraicos.

Si consideramos un cuerpo de números algebraicos K y su anillo de enteros algebraicos DK, se muestra que el anillo entero algebraico, DK, es un dominio de Dedekind. Siendo DK un anillo de enteros algebraicos grupo de clase es finito y se demuestra que el numero de clase es igual a 1 si, y solo si, el anillo entero, DK, tiene la propiedad de factorización única.

La investigación de las propiedades aritméticas del anillo entero de un cuerpo de números algebraicos es uno de los principales objetos de investigación en la teoría de números algebraicos. Hay tres métodos para investigar D aritmética.K. Kronecker consideró polinomios con coeficientes DK. Dedekind introdujo la noción de ideales en DKdefiniendo uno de los conceptos más importantes en álgebra. Hensel introdujo el método que actualmente se llama localización.

Gran parte de la teoría de números clásica se puede expresar en el contexto de la teoría de números algebraica, y esta teoría ha pasado de ser una herramienta a un objeto de investigación esencial en la teoría de números. Este punto de vista fue enfatizado en gran medida por el matemático alemán David Hilbert (1862-1943), quien tuvo una gran influencia en el desarrollo de la teoría de números. Como resultado, la teoría de números algebraicos es una rama matemática fértil, próspera e importante, con métodos y aplicaciones profundos no solo en la teoría de números en sí, sino también en teoría de grupos, geometría algebraica, álgebra conmutativa, topología. , Análisis y Teoría K.

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