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Números primos en progresión aritmética


Sabemos que un número entero positivo es primo si es divisible solo por sí mismo más allá de 1. Los números primos juegan un papel fundamental en la aritmética, análogo al papel de los átomos en la estructura de la materia, es decir, los números enteros que no son números. los primos pueden expresarse como el producto de números primos. Por lo tanto, cualquier número entero mayor que 1 es un número primo o se expresa como un producto de números primos.

Aunque la noción de número primo en el sentido anterior parece obvia, en general, las preguntas que involucran números primos no son fáciles de responder en la etapa actual de las matemáticas. Por ejemplo, cada número impar se expresa en la forma 4.x + 1 o 4x + 3; así que preguntamos cuáles son los primos de la forma 4x + 1 y cuáles son los primos de la forma 4x + 3. Si generamos las secuencias numéricas de la forma anterior, reemplazando x con enteros positivos, las secuencias resultantes tendrán un número infinito de números primos.?

Euclides de Alejandría (alrededor del 300 aC) dio una demostración muy ingeniosa de que hay un número infinito de números primos. El mismo argumento dado por Euclides puede usarse para demostrar el infinito de los primos de la forma 4.x + 3. Dado que 2 es el único primo par, el conjunto de números primos impares se divide en dos familias:

i) 5, 13.17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173 ...;

(ii) 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131 139, 151,…

donde la primera secuencia de números se refiere a los primos de la forma 4x + 1 y el segundo para formar 4 primosx + 3. Demostremos que hay primos infinitos tipo 4x + 3 usando el método de Euclides que demuestra la existencia de primos infinitos.

De hecho, suponga que hay un número finito de números primos de la forma 4x + 3; vamos a nombrarlos que1, que2, que3,… , queno. Considere el entero positivo:

N = 4 que1.que2.que3queno - 1 = 4 que1.que2.que3queno - 4 + 3 = 4 ( que1.que2.que3queno- 1) + 3

y dejar N = r1.r2.r3rM su descomposición en números primos. Como N es un entero impar, se deduce que rk es diferente de 2 para todos ky cada rk es por lo tanto de la forma 4x +1 o 4x + 3. Sin embargo, el producto de dos o más enteros de la forma 4x +1 también da como resultado un número entero como este, es decir,

(4m + 1).(4no + 1) = 16mn + 4m + 4no + 1 = 4(mn + m + no) + 1 = 4z + 1.

Por lo tanto, se deduce que N tiene al menos un factor primo de forma 4x + 3, di ryo = 4x + 3.

Ahora afirmamos que ryo no es un elemento de nuestra lista finita original de números primos: que1, que2, que3,… , queno. De hecho, de lo contrario tendríamos ryo = quejpara algún primo quej de nuestra lista original de primos y luego ryo dividiría el producto que1.que2.que3queno. Por otro lado, siendo ryo un factor de N, ryo dividir N - 4 que1.que2.que3queno = -1. Pronto ryo dividir -1. Por lo tanto, concluimos que hay un número infinito de primos de la forma 4x + 3 por lo tanto, suponga que hay un número finito de primo de la forma 4x + 3 nos lleva a una contradicción.

La siguiente pregunta sería: hay un número infinito de primos de la forma 4x + 1? La respuesta es sí, pero debemos usar otro argumento. Una situación similar surge con respecto a las secuencias numéricas de la forma 6.x +1 y 6x + 5.

Tenga en cuenta que si generamos la secuencia numérica de la forma 4x + 3:

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 79, 83, 87,… ,

La diferencia entre un término en la secuencia y su predecesor siempre es igual a 4.

Lo mismo es cierto para las secuencias de forma 4x + 1, 6x + 1 o 6x + 5. De hecho, tenemos la siguiente definición: "a Progresión aritmética es una secuencia de enteros en la que la diferencia entre un término (de 2el.) y el antecedente siempre es el mismo ”.

¿Podría generalizarse el hecho de que haya primos infinitos en algunas progresiones aritméticas, como las mencionadas anteriormente??

Tenga en cuenta que las progresiones citadas anteriormente son las siguientes. b + hacha donde el y b son fijos y x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., es decir, son de la forma

b, b + el, b + 2el, b + 3el, b + 4el,…

Si el y b tienen un factor común, por lo que la progresión aritmética no contiene números primos, porque cada elemento de progresión tiene este factor. Por ejemplo, considere la progresión aritmética dada por 6 + 2x, esto es,

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,…

Tenga en cuenta que 2 es un factor común de 2 y 6, y cada término de progresión tiene el número 2 como factor. Este hecho sugiere que deberíamos considerar progresiones b + hacha en que el y b ser primos entre sí para obtener un número infinito de primos como se especifica b + hacha. Parece que el matemático Legendre fue el primero en darse cuenta de la importancia de esta pregunta y en 1808 publicó la siguiente conjetura:Si un ≥ 2 y b 0 son enteros positivos y primos entre sí, por lo que hay una gran cantidad de números primos en progresión aritmética

b, b + a, b + 2a, b + 3el,… ”

Esta conjetura se convirtió en un teorema importante y fue demostrada por Dirichlet en 1837. Este resultado fue monumental por varias razones. Dirichlet confió en la idea original de Euler para demostrar la infinidad de primos. Se utilizaron métodos analíticos revolucionarios como series infinitas, convergencia de series, límites, logaritmos, etc., y muchos otros conceptos hasta ahora extraños a la teoría de números enteros. La demostración de Dirichlet se considera una de las primeras aplicaciones importantes de métodos analíticos en teoría de números y proporciona nuevas líneas de desarrollo. Las ideas subyacentes a los argumentos de Dirichlet son de carácter muy general y fueron fundamentales para desarrollar el trabajo posterior de aplicar métodos analíticos en la teoría de números.

En 1949, el matemático Atle Selberg hizo una demostración elemental del teorema de Dirichlet, análoga a su demostración anterior del teorema de los números primos.

Dirichlet también demostró que cualquier forma cuadrática en dos variables, es decir, cualquier forma del tipo hacha2 + bxy + cy2 donde el, b, c, son primos entre sí, generan una infinidad de primos. No se sabe mucho sobre otras formas que generan números primos infinitos.

Por otro lado, podemos demostrar que no hay progresión aritmética en la que todos los términos sean números primos. Hasta el siglo pasado, un viejo problema abierto era determinar una progresión aritmética arbitrariamente larga pero finita en la que todos los términos eran números primos.

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