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La intuición juega un papel importante en guiar la verdad.


Para aquellos que comienzan a estudiar matemáticas, una pregunta aparentemente muy difícil de responder es la siguiente: ¿Cómo sé cuál es la próxima verdad que puedo demostrar? Hace más de 2500 años, los matemáticos griegos descubrieron que "intuición humana"Es uno de los principales recursos en la investigación matemática, y que sirve como"guía de la razón humana"Euclides usó figuras para inspirarse en sus descubrimientos geométricos y para guiar sus demostraciones.

Usemos nuestro "intuición topológica (espacial)" para inspirar nuestra investigación de conjuntos. Comencemos con una imagen.

¿Cuántas regiones podemos identificar en la figura anterior? Inmediatamente notamos quince regiones interesantes: (1) Las regiones blanca más amarilla, azul y verde juntas forman el "universo". (2) La región verde. (3) Las regiones blanca, amarilla y verde. (4) Las regiones blanca, azul y verde. (5) Las regiones amarilla, azul y verde. (6) Las regiones blanca y amarilla. (7) Las regiones blanca y azul (8) Las regiones blanca y verde (9) Las regiones amarilla y azul (10) Las regiones amarilla y verde (11) Las regiones azul y verde (12) A región blanca. (13) La región amarilla. (14) La región azul. (15) La región verde.

¿Cómo podemos hacer estos "intuiciones"¿Conceptos matemáticos? ¿Cómo podemos describir estas regiones como conjuntos? Podemos comenzar con un conjunto que contenga todos los demás, es decir, definimos el conjunto U del universo. Para definir los otros conjuntos nos guiaremos"intuición"de las figuras. Nuestra primera tarea es definir el"unión de dos conjuntos", entonces definiremos el"intersección de dos conjuntos"entonces el"complementario a un conjunto"entonces el"diferencia de dos conjuntos"entonces el"diferencia simétrica de dos conjuntos".

La región amarilla más la región azul más la región verde forman el conjunto de A y B: escribiremos AÈ B. La región azul es la parte que está en el conjunto A y el conjunto B: escribimos AÇ B. La región amarilla es la parte del conjunto A que no está en el conjunto B, escribimos AB, y la región verde es la parte del conjunto B que no está en el conjunto A, y escribimos BA. Cada uno de estos dos conjuntos que llamamos "diferencia"entre dos conjuntos. Podemos ver A - B como el"conjunto complementario de B en A", es decir, el conjunto de conjuntos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. Entonces diremos que U - A es el"conjunto complementario de A"es decir, es el conjunto de conjuntos del universo que no pertenecen a A. Si unimos las diferencias entre A y B y entre B y A, tenemos el"diferencia simétrica de A y B", que se escribirá con el símbolo A D B.

Nuestro gran problema ahora es mostrar que todas estas definiciones están permitidas por los axiomas. En otras palabras, tenemos que demostrar que nuestro "intuición"puede estar perfectamente representado por"teoria"Que tenemos hasta ahora.

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