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La sexta verdad


Ya sabemos cómo proliferar los objetos del mundo de los conjuntos. Si hay un conjunto C, entonces hay un par {C, C} y, por lo tanto, está el conjunto {C} y, por lo tanto, está el conjunto {C, {C}} y, por lo tanto, está el conjunto ... Así que ya Podemos obtener "una multitud de conjuntos" mediante la proliferación de nuevos conjuntos de un solo conjunto.

Ahora proliferemos nuevos conjuntos "dentro" de un conjunto dado. Es decir, vamos a "abrir" nuevos conjuntos de un conjunto dado, pero dentro de él. Es el Axioma 6, el axioma de las partes de un conjunto que nos permite aumentar la población de objetos en el universo matemático que tenemos hasta ahora.

Es una noción intuitiva. la noción de las partes de un conjunto. Pero, ¿por qué podemos "pensar en ellos"? Es precisamente el Axioma 6 lo que nos permite suponer que las partes de un conjunto son conjuntos legítimos para nuestro pensamiento.

Axioma 6
Para cada conjunto C, hay un conjunto P (C) tal que si A está contenido en C, entonces A pertenece a P (C).

Por ejemplo, ¿cuáles son las partes del conjunto C = {0, 1, 2, 3}? Dado que el conjunto vacío Æ está contenido en cualquier conjunto, entonces está contenido en C. Por lo tanto, el conjunto vacío Æ es un conjunto que pertenece a las partes de C, es decir, Æ pertenece al conjunto P (C). Bueno, ¿cuáles son todos los otros conjuntos que pertenecen a las partes de C? Primero enumeremos todos aquellos que tienen un solo conjunto: {0}, {1}, {2}, {3}. Ahora enumeremos todos esos conjuntos que tienen dos conjuntos: {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Ahora enumeremos todos esos conjuntos que tienen tres conjuntos: {0, 1, 2}, {0, 2, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}. Finalmente, enumeremos todos esos conjuntos que tienen cuatro conjuntos: {0, 1, 2, 3}.

¿Notó que usamos la noción de "uno", "dos", "tres", "cuatro" para resolver el problema de encontrar todas las partes del conjunto C? Admitamos, por ahora, que ya sabemos cuáles son estas "entidades". Pronto veremos que estas entidades no son más que números naturales, es decir, los primeros números que surgen "naturalmente" al principio de nuestra investigación de una teoría de conjuntos. Por otro lado, usted pudo comprender completamente nuestro "razonamiento" para obtener el conjunto de partes del conjunto C.

Obtuvimos "16" partes para el conjunto C = {0, 1, 2, 3}. Si nuestro conjunto C se estableciera {0, 1, 2, 3, 4} obtendríamos partes "32". ¿Sabrías por qué esto? Dejemos que este desafío lo resuelva hasta la siguiente columna: cuando un conjunto tiene n conjuntos, entonces su conjunto de partes tiene el poder 2no , es decir, el número de conjuntos de P (C) es "dos elevados a no" En nuestro ejemplo, habrá "dos a quintas" partes en el conjunto {0, 1, 2, 3, 4}. Fue calculando esta "potencia" que nos sentimos más cómodos con el resultado obtenido en el caso de las dieciséis partes porque nos convencimos de que no habíamos olvidado ninguna parte.

Es interesante notar que esta poderosa "ley" para probar si el número de partes obtenidas es correcta también es cierto para el caso extremo del conjunto vacío. Preguntamos: ¿cuántas y cuáles son las partes del conjunto vacío? Respuesta: ¡dos elevados a 0! Pero, por otro lado, sabemos fácilmente que el conjunto vacío tiene solo una parte, es decir, la parte vacía. Por eso decimos que 'dos ​​elevados a cero es uno'. Pero esto nos trae un problema intrigante: cuánto es el poder "no elevado a cero "?

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