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Simetría, antisimetría y ruptura de simetría II


En la columna anterior, encontramos una ruptura inevitable de la simetría: 0 no puede tener un inverso multiplicativo, aunque su inverso aditivo, es decir, su opuesto, es él mismo. Luego nos encontramos con una pregunta fundamental, natural y lógica: ¿cuál es la capacidad del anillo de fracciones Q, +, 0, ×, 1, distributivañ resolver ecuaciones, ya que su representación geométrica es simétrica y llena la línea mucho mejor?

Desde un punto de vista geométrico importante, las fracciones ocupan simétricamente la línea euclidiana, pero como Pitágoras se dio cuenta, ciertas hipotenos son de longitud que deberían llevarse con la brújula a un punto en la línea euclidiana.

Pitágoras tuvo que resolver la ecuación x2 = 2! Un triángulo rectángulo de collares que mide 1 tiene hipotenusa ¸ que no es una fracción, es decir, no hay números enteros. p y que tal que p/que = ¸. Con la brújula mental, Pitágoras probablemente imaginó que algún punto de la línea euclidiana estaría situado a una distancia ¸ de un punto O.

Por lo tanto, entra en juego un número infinito de números irracionales, es decir, que no son fracciones, pero que aún se pueden acomodar en la línea euclidiana. Georg Cantor nos mostró, alrededor de 1800, que la cantidad infinita de los irracionales es mucho mayor que la cantidad infinita de las fracciones. Para aquellos interesados ​​en esto, ya hemos estudiado en columnas anteriores la causa de la existencia de infinitos tipos de infinito.

Volviendo a los números reales, ¿cómo los vamos a concebir? A través de la representación decimal infinita hacemos la siguiente distinción: aquellos cuya expansión decimal no es periódica (lo irracional) y aquellos cuya expansión decimal es periódica (las fracciones o lo racional). La nueva criatura se llama el "conjunto de números reales", o simplemente R.

Por ejemplo, 1 = 1,00000 ... 0000 ... Solo tenemos que tener especial cuidado: ¡también podemos escribir 1 = 0,999999 ... 9999 ...! La explicación es simple: el número a la derecha no es menor que 1 porque tiene infinitos 9 y, por lo tanto, supera a cualquiera que sea menor que 1. Por otro lado, no es mayor que 1, por supuesto. Por lo tanto, solo puede ser igual a 1. Para evitar la ambigüedad en la representación infinita de lugares decimales, acordaremos que los ceros infinitos consecutivos serán reemplazados por 9 infinitos disminuyendo una unidad en el cuadrado antes del primer cero que se repite infinitamente. Sin embargo, para hacer sumas y multiplicaciones, podemos usar cualquier representación.

Por ejemplo, 1.39000 ... 000 ... ¡podrían cambiarse por 1.38999 ... 999 ...! De esta manera, cada número real tiene una única representación decimal infinita. El número 2 tiene la representación 1,999 ... 999 ..., el número 2,1 tiene la representación 2,0999 ... 999 ... y así sucesivamente.

No debemos olvidar que ciertos axiomas lógicos son necesarios para nuestra investigación. Por ejemplo, acabamos de usar el axioma del cual el no más pequeño que b y ninguno es más grande que bentonces el = b.

Esta elegante caracterización de números reales por infinitos decimales nos hace definitivamente comprometidos con el "infinito". No hay forma de deshacerse de él y, por ahora, ¿por qué deberíamos hacerlo? Galileo estaba asustado (como muchos otros) del infinito matemático, y nos aconsejó que lo evitáramos, pero eso es agua pasada.

Luego alcanzamos el nivel mental de los números reales: ar, +, 0, ×, 1, distributivo. ¿Cómo vamos a agregar dos números con decimales infinitos, digamos ¸ + ¹?

No podemos decir que simplemente agreguemos los decimales correspondientes. Hay un problema: no hay un último cuadrado de ¸ y ¹, por ejemplo.

Imagine que, aunque no existe, existe el número irracional. ¿Pero por qué? Bueno, por cierto!

Todavía tenemos que explicar cómo agregaremos o multiplicaremos dos números con infinitos decimales. Ya sabemos cómo hacer esto con fracciones.

Por ejemplo,

0,4999… 999… + 0,333… 333… = 0,5 + 1/3 = ½ + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 = 0,8333… 333…

Sin embargo, en el caso de ¸ + ¹, el chiste es mucho más serio. Bueno, hagamos esto: supongamos que esta suma existe, es decir, que también es un número real y, por lo tanto, también tiene su representación decimal infinita. En cualquier cálculo que involucre estos números, todas las propiedades del anillo de fracción también serán hipotetizadas, y eso es todo, ¡toquemos el bote!

Si alguien amenaza con quedarse atrás, podemos decir esto: de hecho, con gran voluntad y paciencia, podríamos descubrir los primeros lugares decimales de ¸ + ¹. Por ejemplo, como ¸ = 1,4 ... y ¹ = 2,2 ..., tenemos ¸ + ¹ = 3, ... Todavía no podemos decir cuál es el primer lugar después de la coma, pero ciertamente el decimal de todas las unidades de ¸ + ¹ es 3. Para encontrar el siguiente decimal, tendríamos que saber cuál es el segundo decimal después de la coma de ¸ y ¹. No habría problema con eso, simplemente gastaríamos tiempo y energía. Así que no dejamos atrás a los incrédulos en este juego.

El juego que continuaremos jugando es tratar de averiguar hasta dónde puede llegar la mente de Hoss con estas construcciones hipotéticas. La línea euclidiana se llenó mejor con lo irracional. De hecho, ahora se ha llenado por completo. La posibilidad de infinitos decimales para cada número real cubre cualquier agujero en la línea euclidiana. De ahora en adelante, siempre imaginaremos la línea euclidiana como algo continuo, sin agujeros. En otras palabras, entre dos números reales hay un tercero, y por lo tanto hay infinitos, ¡mucho más que el número de fracciones!

Como cada número racional ¹ 0 tiene un inverso multiplicativo en el anillo de fracciones, decimos que el anillo es un cuerpo. El cuerpo de fracciones q, +, 0, ×, 1, distributivañ extendido al cuerpo de los números reales ÁR, +, 0, ×, 1, distributivo. El hecho esencial era que las ecuaciones de la forma xno = eldonde el es una fracción positiva, llegaron a tener soluciones irracionales de la manera el1 / nes decir raíz no-th de el. Al igual que con el caso de la raíz cuadrada, cualquier raíz no-la de un número racional no negativo surge, a menudo como un número irracional. Los infinitos decimales de el1 / n puede ser descubierto pacientemente por aproximaciones como para ¸ = 1.414 ...

Sin embargo, no puede usar esta estrategia para resolver la ecuación x2 = -1. Tendremos que abandonar la línea euclidiana para acomodar nuevos números que resolverán este tipo de ecuaciones. Comenzamos con la hipótesis de que hay un número yo eso satisface esta ecuación. Así, yo2 = -1. Como queremos preservar todas las propiedades del cuerpo de números reales, debemos admitir lo contrario de yo cual es el -yoy todos los otros múltiplos de yo en el camino aydonde el Es un numero real.

Los números complejos entran en juego como una estrategia para resolver ecuaciones como x2 = -elser el Un número real positivo.

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