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La licitación ordenada


Con la tercera verdad de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, hemos podido definir el par ordenado que es de gran importancia en materia de orden en las matemáticas. Cabe señalar que la definición de Norbert Wiener de par ordenado (a, b) = {{a}, {a, b}} puede parecer impactante a primera vista. No es de extrañar la historia de que Norbert Wiener visitando Italia una vez dio una conferencia a matemáticos y científicos, a la que asistió el famoso matemático italiano Giuseppe Peano, y en la que Wiener mostró su definición de pareja. ordenado Peano habría quedado visiblemente sorprendido de que él mismo no descubriera una definición tan precisa, rigurosa y simple.

Esta configuración puede molestar a los lectores por otros motivos. Es útil detenerse un poco en esta noción de par ordenado. Debe tener en cuenta que (a, b) = {{a}, {a, b}} también se puede escribir como (a, b) = {{a, b}, {a}}, es decir, no No importa qué "orden" escriba los conjuntos {a, b} y {a}, no cambia el orden de a y b en el par ordenado (a, b). Pero, por supuesto, si mueve el orden en (a, b), entonces tiene otro conjunto: (b, a) = {{b}, {a, b}}.

También debe tener en cuenta que la definición de par ordenado no tiene nada que ver con otros conceptos como el plano euclídeo, ejes de referencia, etc. La definición de Wiener es muy delgada, no depende de nada más que de la noción de ensamblaje. Es un ejemplo elegante del poder de las matemáticas para producir información clara, precisa y concisa.

Dejamos, en la última columna, un "desafío para que descifres en una semana: por qué (a, b) ≠ {a, b} Seguramente ya debe haber pensado en la solución correcta. Solo para asegurarnos de que todos entiendan, demos una demostración aquí. El conjunto {a, b} no es el par ordenado (a, b) simplemente porque hay conjuntos en {a, b}, por ejemplo, b, que no pertenecen al conjunto (a, b).

Todavía dejaremos un

Desafío: porque b no pertenece a (a, b)?

Para reforzar aún más la noción de par ordenado, definamos el palo ordenado: (a, b, c) = {{a}, {a, b}, {a, b, c}}. Ahora te dejamos con el desafío de escribir todos los trajes ordenados que podemos obtener con el conjunto {a, b, c}.

Nuevamente, la noción de traje ordenado no tiene nada que ver con la noción de referencia de coordenadas de tres ejes. Por supuesto, podemos usar la noción de traje ordenado para estudiar geometría y / o física, en particular, para indicar la posición de una partícula en el espacio tridimensional. Pero la definición de traje ordenado solo requiere la noción de conjunto y formación de conjuntos, es decir, uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

El concepto de orden es fundamental en las matemáticas. Por lo tanto, es importante que podamos concebir de la manera más simple posible los pares ordenados, los trajes ordenados, los cuádruples ordenados, etc. En el futuro hablaremos más sobre el orden en las matemáticas.

Recuerde nuevamente que aún no sabemos si hay algo en nuestro universo de conjuntos. Pero ya sabemos que si hay dos conjuntos a y b, habrá conjuntos llamados "pares ordenados", "trajes ordenados", cuádruples ordenados, etc. Todavía tenemos mucho que caminar. Pero el camino es interesante y sorprendente. No es posible predecir qué objetos matemáticos o qué "cosas" se descubrirán en el universo de las matemáticas. Pero puede estar seguro de que seguirá siendo un camino fascinante.

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