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Historia del álgebra (descripción general)


Fuente: Temas de Historia de las Matemáticas - John K. Baumgart

Extraño e intrigante es el origen de la palabra "álgebra". No está sujeto a una etimología clara como la palabra "aritmética", que deriva del griego arithmos ("número"). Álgebra es una variante latina de la palabra árabe al-jabr (a veces transliterado al-jebr), utilizado en el título de un libro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito en Bagdad alrededor del año 825 por el matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Mahoma, hijo de Moisés de Khowarizm). Este trabajo de álgebra a menudo se conoce en abreviatura como Al-Jabr.

Una traducción literal del título completo del libro es "ciencia de restauración (o reunión) y reducción", pero matemáticamente sería mejor "ciencia de transposición y cancelación" o, según Boher, "la transposición de términos restados al otro miembro del libro. ecuación "y" la cancelación de términos similares (iguales) en miembros opuestos de la ecuación ". Por lo tanto, dada la ecuación:

x2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x3
al-jabr proporciona
x2 + 7x + 4 = 4 + 5x3
y al-muqabalah proporciona
x2 + 7x = 5x3
Quizás la mejor traducción fue simplemente "la ciencia de las ecuaciones".
Aunque originalmente "álgebra" se refiere a ecuaciones, la palabra hoy tiene un significado mucho más amplio, y una definición satisfactoria requiere un enfoque de dos fases:
(1) El álgebra antigua (elemental) es el estudio de ecuaciones y métodos para resolverlos.
(2) El álgebra moderna (abstracta) es el estudio de estructuras matemáticas como grupos, anillos y cuerpos, por nombrar solo algunos.
De hecho, es conveniente rastrear el desarrollo del álgebra en términos de estas dos fases, ya que la división es cronológica y conceptual.

Ecuaciones algebraicas y notación

La fase antigua (elemental), que abarca el período comprendido entre 1700 a. C. y aproximadamente 1700 d. C., se caracterizó por la invención gradual del simbolismo y la resolución de ecuaciones (generalmente coeficientes numéricos) por varios métodos, mostrando poco progreso hasta la resolución. "general" de ecuaciones cúbicas y cuárticas y el tratamiento inspirado de ecuaciones polinómicas en general por François Viète, también conocido como Vieta (1540-1603).

El desarrollo de la notación algebraica ha evolucionado en tres etapas: la retórica (o verbal), el sincopado (en el que se usaron las abreviaturas de palabras) y el simbólico. En la última etapa, la notación experimentó varias modificaciones y cambios hasta que se volvió razonablemente estable en el momento de Isaac Newton. Es interesante notar que incluso hoy en día, no existe una uniformidad completa en el uso de símbolos. Por ejemplo, los estadounidenses escriben "3.1416" como una aproximación de Pi, y muchos europeos escriben "3.1416". En algunos países europeos, el símbolo "÷" significa "menos". Dado que el álgebra probablemente se originó en Babilonia, parece apropiado ilustrar el estilo retórico con un ejemplo de esa región. El siguiente problema muestra el grado relativo de sofisticación del álgebra babilónica. Es un ejemplo típico de los problemas encontrados en la escritura cuneiforme, en tabletas de arcilla que datan de la época del rey Hammurabi. La explicación, por supuesto, está hecha en portugués; y la notación decimal indoárabe se usa en lugar de la notación sexagesimal cuneiforme. La columna derecha proporciona los pasajes correspondientes en notación moderna. Aquí está el ejemplo:

1 Largo Ancho. Multipliqué largo por ancho, obteniendo así el área: 252. Agregué largo y ancho: 32. Uno pregunta: largo y ancho.

2 Dado 32 suma; Área 252.x + y = k

xy = P}… (A)

3 Respuesta 18 longitud; 14 ancho.
4 El siguiente es este método: tome la mitad de 32, que es 16.k / 2
16 x 16 = 256(k / 2)2
256 - 252 = 4(k / 2)2 - P = t2 }… (B)
La raíz cuadrada de 4 es 2.
16 + 2 = 18 de longitud.(k / 2) + t = x.
16-2 = 14 ancho(k / 2) - t = y.
5 Prueba que multipliqué 18 de largo por 14 de ancho.

18 x 14 = 252 área

((k / 2) + t) ((k / 2) -t)

= (k2/ 4) - t2 = P = xy.

Tenga en cuenta que en el paso 1 se formula el problema, en 2 se presentan los datos, en 3 se da la respuesta, en 4 se explica el método de solución. con números y finalmente a las 5 se prueba la respuesta.

La "receta" anterior se usa repetidamente para problemas similares. Tiene importancia histórica e interés actual por varias razones.

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En primer lugar, esta no es la forma en que resolveríamos el sistema hoy (A). El procedimiento estándar en los textos escolares de álgebra actuales es resolver, por ejemplo, la primera ecuación para y (en términos de x), sustituya en la segunda ecuación y luego resuelva la ecuación cuadrática resultante en x; es decir, usaríamos el método de sustitución. Los babilonios también sabían cómo resolver sistemas por sustitución, pero a menudo preferían usar su método paramétrico. Es decir, utilizando la notación moderna, concibieron x y y en términos de un nuevo desconocido (o parámetro) t haciendo x = (k / 2) + t y y = (k / 2) -t.

Entonces el producto:

xy = ((k / 2) + t) ((k / 2) - t) = (k / 2)2 - t2 = P

los llevó a la relación (B):

(k / 2)2 - P = t2

Segundo, el problema anterior tiene importancia histórica porque el álgebra griega (geométrica) de los pitagóricos y euclides siguió el mismo método de solución, traducido, sin embargo, en términos de segmentos de línea y áreas e ilustrado por figuras geométricas. Unos siglos más tarde, otro griego, Diophantus, también utilizó el enfoque paramétrico en su trabajo con ecuaciones "diofantinas". Comenzó el simbolismo moderno introduciendo abreviaturas de palabras y evitando el estilo algo complejo de álgebra geométrica.

En tercer lugar, los matemáticos árabes (incluido al-Khowarizmi) no utilizaron el método empleado en el problema anterior; Prefirieron eliminar una de las incógnitas por sustitución y expresar todo en términos de palabras y números.

Antes de abandonar el álgebra babilónica, notemos que pudieron resolver una sorprendente variedad de ecuaciones, incluidos ciertos tipos especiales de cúbicos y cuárticos, todos con coeficientes numéricos, por supuesto.

Álgebra en Egipto

El álgebra surgió en Egipto aproximadamente al mismo tiempo que en Babilonia; pero el álgebra egipcia carecía de los sofisticados métodos del álgebra babilónica, así como la variedad de ecuaciones resueltas a juzgar por Papyrus Moscow y Papyrus Rhind: documentos egipcios que datan de aproximadamente 1850 a. C. y 1650 a. C. respectivamente, pero que reflejan métodos matemáticos de un periodo anterior Para las ecuaciones lineales, los egipcios usaron un método de resolución que consiste en una estimación inicial seguida de una corrección final, un método al que los europeos más tarde lo llamaron una "regla de posición falsa". El álgebra de Egipto, como el de Babilonia, era retórico.

El sistema de numeración egipcio relativamente primitivo en comparación con el de los babilonios ayuda a explicar la falta de sofisticación del álgebra egipcia. Los matemáticos europeos del siglo XVI tuvieron que extender la noción indoárabe de número antes de poder avanzar significativamente más allá de los resultados babilónicos de resolver ecuaciones.

Álgebra geométrica griega

El álgebra griega formulada por los pitagóricos y euclides era geométrica. Por ejemplo, lo que escribimos como:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

fue concebido por los griegos en términos del diagrama presentado en la Figura 1 y fue curiosamente declarado por Euclides en Elementos, libro II, proposición 4:

Si una línea recta se divide en dos partes, el cuadrado sobre la línea completa es igual a los cuadrados sobre las dos partes, junto con el doble del rectángulo que contienen las partes. Esto es, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Estamos tentados a decir que para los griegos de la época de Euclides el2 Realmente era una plaza.

No hay duda de que los pitagóricos conocían bien el álgebra de Babilonia y de hecho siguieron los métodos estándar de resolución de ecuaciones de Babilonia. Euclides ha registrado estos resultados pitagóricos. Para ilustrarlo, elegimos el teorema correspondiente al problema babilónico considerado anteriormente.

Del libro VI de Elementos, tenemos la proposición 28 (una versión simplificada):

Dada una línea recta AB es decir, x + y = k, construir a lo largo de esta línea un rectángulo con un área determinada xy = P, suponiendo que el rectángulo "se quede corto" en AB en una cantidad "rellenada" por otro rectángulo el cuadrado BF en la figura 2, similar a un rectángulo dado que aquí admitimos ser cualquier cuadrado.

En la solución de esta construcción solicitada (Fig. 2), el trabajo de Euclides es casi exactamente paralelo a la solución babilónica del problema equivalente. Como lo indica T.L.Heath / EUCLID: II, 263 /, los pasos son los siguientes:

Bisecte AB en M:k / 2
Construye el MBCD cuadrado:(k / 2)2
Usando VI, 25, construya el cuadrado DEFG con un área igual al exceso de MBCD sobre el área dada P:t2 = (k / 2)2 - P
Asi que por supuestoy = (k / 2) - t

Como solía hacer, Euclides dejó el otro caso al estudiante, en este caso x = (k / 2) + t, que Euclides ciertamente se dio cuenta pero no formuló.

De hecho, es notable que la mayoría de los problemas estándar babilónicos fueron "rehechos" de esta manera por Euclides. ¿Pero por qué? ¿Qué llevó a los griegos a dar a su álgebra esta formulación incómoda? La respuesta es básica: tenían dificultades conceptuales con fracciones y números irracionales.

Incluso si los matemáticos griegos pudieron sortear fracciones al tratarlos como razones enteras, tenían dificultades insuperables con números como la raíz cuadrada de 2, por ejemplo. Recordamos el "escándalo lógico" de los pitagóricos cuando descubrieron que la diagonal de un cuadrado unitario es inconmensurable con el lado (es decir, diag / side es diferente de la relación de dos enteros).

Por lo tanto, fue su estricto rigor matemático lo que los obligó a usar un conjunto de segmentos de línea como un dominio conveniente de elementos. Porque aunque raíz cuadrada de 2 no se puede expresar en términos de enteros o sus proporciones, se puede representar como un segmento de línea que es precisamente la diagonal del cuadrado de la unidad. Quizás no sea solo una broma decir que el continuo lineal era literalmente lineal.

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De paso, debemos mencionar a Apolonio (c. 225 a. C.), que aplicó métodos geométricos al estudio de las secciones cónicas. De hecho, su gran tratado Secciones cónicas contiene más geometría cónica analítica, todo redactado en terminología geométrica, que los cursos universitarios actuales.

Las matemáticas griegas se detuvieron repentinamente. La ocupación romana había comenzado y no fomentaba la erudición matemática, incluso si estimulaba otras ramas de la cultura griega. Debido al estilo pesado del álgebra geométrica, no podría sobrevivir solo en la tradición escrita; Necesitaba un medio oral y animado. Era posible seguir el flujo de ideas siempre que un instructor señalara diagramas y explicara; pero las escuelas directas no sobrevivieron.

Álgebra en Europa

El álgebra que ingresó a Europa (a través de Liber abaci de Fibonacci y las traducciones) había retrocedido tanto en estilo como en contenido. El semi-simbolismo (sincopación) de Diophantus y Brahmagupta y sus logros relativamente avanzados no estaban destinados a contribuir a una eventual erupción de álgebra.

El renacimiento y la rápida floración del álgebra en Europa se debió a los siguientes factores:

  1. facilidad para manipular trabajos numéricos a través del sistema de numeración indoárabe, muy superior a los sistemas (como el romano) que requerían el uso de ábaco;

  2. invención de la prensa de tipo móvil, que aceleró la estandarización del simbolismo al mejorar las comunicaciones, basadas en una distribución generalizada;

  3. resurgimiento de la economía, mantenimiento de la actividad intelectual; y la reanudación del comercio y los viajes, facilitando el intercambio de ideas y bienes.

Las ciudades comercialmente fuertes surgieron por primera vez en Italia, y fue allí donde comenzó efectivamente el renacimiento algebraico en Europa.

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