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Derivadas de funciones trigonométricas inversas


Un problema común en la trigonometría es encontrar un ángulo cuyas funciones trigonométricas sean conocidas.

Los problemas de este tipo implican el cálculo de funciones de arcocomo arcsen xarcos xarctg x, etcétera. Considere esta idea desde el punto de vista de las funciones inversas, con el objetivo de desarrollar fórmulas derivadas para funciones trigonométricas inversas.

Identidades para funciones trigonométricas inversas

Si interpretamos x como un ángulo medido en radianes cuyo seno es x, y si ese ángulo es no negativo entonces podemos representar x como un ángulo en un triángulo rectángulo, donde la hipotenusa tiene longitud 1 y el lado opuesto al ángulo de tiene longitud x (figura un) Por el teorema de Pitágoras, el lado adyacente al ángulo tiene longitud .

Además, el ángulo opuesto a é , ya que el coseno de ese ángulo es x (figura b) Este triángulo motiva varias identidades útiles, que involucran funciones trigonométricas que son válidas para . Por ejemplo:

Del mismo modo, x y x se puede representar con ángulos de triángulos rectángulos mostrados en figura c y d. Estos triángulos revelan identidades más útiles, como:


NOTA Nada se gana memorizando estas identidades; lo importante es entender el método solía conseguirlos.

Ejemplo

La figura a continuación muestra un gráfico generado por computadora de y = (sen x) Puede pensar que este gráfico debería ser la línea recta y = x, una vez que (sen x) = x. ¿Por qué no sucede esto?

Solución La relacion (sen x) = x es válido en rango ; pronto podemos decir con seguridad que las gráficas de y = (sen x) y y = x coinciden en este rango. Sin embargo, fuera de este rango, la relación (sen x) = x No tiene que ser válido. Por ejemplo, si estás en el rango , entonces la cantidad x - estará en rango . Así

Por lo tanto, utilizando la identidad sen (x-) = -sen x y el hecho de que es una función extraña que podemos expresar (sen x) como

Esto muestra que en el rango , la gráfica de y = (sen x) coincide con la línea y = -(x-), que tiene pendiente -1 y una intersección x en x = , que está de acuerdo con la figura.

Fórmula de derivación

Recuerda que si f es una función uno a uno cuya derivada es conocida, por lo que hay dos formas básicas de obtener una fórmula de derivación para (x), podemos reescribir la ecuación y = (x) como x = f(y), y diferenciar implícitamente. Utilizaremos la diferenciación implícita para obtener la fórmula de derivación para y = x. Reescribiendo esta ecuación como x = sen y y diferenciando implícitamente obtenemos

Esta fórmula derivada se puede simplificar aplicando la fórmula , que se dedujo del triángulo de la figura, resultando:

Por lo tanto, mostramos que

Si tu es una función diferenciable de xentonces y la regla de la cadena produce la siguiente fórmula derivada generalizada

El método utilizado para obtener esta fórmula también se puede utilizar para obtener fórmulas derivadas generalizadas para otras funciones trigonométricas inversas. Estas fórmulas, válidas para -1 < tu <1, son

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