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Funciones logarítmicas y exponenciales


Cuando se introdujeron los logaritmos en el siglo XVII como una herramienta computacional, proporcionaron a los científicos en ese momento un poder de cálculo inimaginable.

Aunque las computadoras y las calculadoras han reemplazado en gran medida los logaritmos en los cálculos numéricos, las funciones logarítmicas y relativas tienen una amplia aplicación en matemáticas y ciencias.

Exponentes irracionales

En álgebra, los poderes enteros y racionales de un número b están definidos por

Si b negativo, entonces algunos de los poderes fraccionales de b tendrá valores imaginarios; por ejemplo, . Para evitar esta complicación, supongamos que incluso si no se indica explícitamente.

Tenga en cuenta que las definiciones anteriores no incluyen poderes irrazonable de b, tales como

Existen varios métodos para definir poderes irracionales. Un enfoque es definir poderes irracionales de b como límite de poderes racionales. Por ejemplo, para definir debemos comenzar con la representación decimal de , esto es,

3,1415926

A partir de este decimal podemos formar una secuencia de números racionales que se acercan cada vez más a esto es,

3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159

y de estos podemos formar una secuencia de poder racional de 2:

Dado que los exponentes de los términos de esta secuencia tienden a un límite , parece plausible que los términos mismos tienden a un límite; por lo tanto es razonable definir como este límite. La mesa a continuación proporciona evidencia numérica de que la secuencia realmente tiene un límite y para cuatro decimales el valor de este límite es 8.8250. En general, para cualquier exponente irracional p y número positivo bpodemos definir como el límite de los poderes racionales de b, creado por la expansión decimal de p.

Tabla

x
38,000000
3,18,574188
3,148,815241
3,1418,821353
3,14158,824411
3,141598,824962
3,1415928,824974

La familia de funciones exponenciales.

Una función de la forma f (x) = donde b > 0 y b 1 se llama función exponencial base b, cuyos ejemplos son

f (x) = , f (x) = , f (x) =

Tenga en cuenta que una función exponencial tiene una base constante y un exponente variable. Así funciones tales como f (x) = y f (x) = no se clasificarían como funciones exponenciales ya que tienen una base variable y un exponente constante.

Se puede demostrar que las funciones exponenciales son continuas y tienen uno de los dos aspectos básicos que se muestran en figura 1dependiendo de si 0 < b <1 o b > 1. Figura 2 muestra gráficos de algunas funciones exponenciales específicas.

NOTA Si b = 1, entonces la función es constante desde = = 1. Este caso no nos interesa aquí, por lo que lo excluimos de la familia de funciones exponenciales.

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