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Diferenciación logarítmica


Considere ahora una técnica llamada diferenciación logarítmica, que es útil para diferenciar funciones compuestas de productos, cocientes y potencias.

Ejemplo

La derivada de

Es relativamente difícil de calcular directamente. Sin embargo, si primero tomamos el logaritmo natural en ambos lados y luego usamos sus propiedades, podemos escribir:

Diferenciando ambos lados de x, resultados

Entonces resolviendo para dy / dx y usando tenemos

NOTAUna vez 1n y se establece solo en y> 0, la diferenciación logarítmica de y = f(x) es válido solo a intervalos donde f(x) es positivo. Por lo tanto, la derivada que se muestra en el ejemplo es válida en el rango (2, + ), ya que la función dada es positiva para x> 2. Sin embargo, la fórmula es realmente válida también en el rango (- 2) Esto se puede ver tomando valores absolutos antes de proceder con la diferenciación logarítmica y observando que está configurado para todos y excepto en y = 0. Si hacemos esto y simplificamos el uso del logaritmo y las propiedades de valor absoluto, obtenemos

Diferenciando ambos lados de x da lugar a, y por lo tanto resulta en. En general si la derivada de y = f(x) se obtiene por diferenciación logarítmica, luego la misma fórmula para dy / dx resultar en tomar o no valores absolutos primero. Por lo tanto, una fórmula derivada obtenida por diferenciación logarítmica será válida, excepto en los puntos donde f(x) es cero. La fórmula también puede ser válida en esos puntos, pero no está garantizada.

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