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Matemáticas y música: en busca de la armonía (parte 9)


5. Matemáticas en el surgimiento del temperamento

El temperamento en el sentido general significa una escala en la que todos o casi todos los rangos son ligeramente inexactos pero no distorsionados. Terminan valorando ciertos intervalos sobre otros, en el sentido de que los primeros corresponden a las mismas relaciones de frecuencia que los otros.

El temperamento pitagórico es el temperamento más antiguo utilizado en Occidente. En el Renacimiento y el Barroco temprano, prosperaron temperamentos desiguales en los que se dio prioridad a los tercios naturales más altos. Otros temperamentos surgieron en este período que se superaron a medida que la música se extendió a todos los tonos.

Al final de la Edad Media y el comienzo del Renacimiento, la música tomó caminos que convocaron su desapego de las concepciones melódicas hacia la conquista de un personaje principalmente armonioso. La trayectoria de la música occidental condujo a la música a la libertad de mosulación no solo para los tonos cercanos, sino también para diferentes escenarios tonales, es decir, las composiciones de esa época, intimaban la libertad de transposición de tonos.

El temperamento no ocurrió como un proceso repentino, sino que se desarrolló de varias maneras. A principios del siglo XVI, los intentos de llenar los vacíos naturales de una manera relativamente simétrica siempre encontraron el coma fatal en algún momento (un término usado para referirse al pequeño resto que siempre ocurría cuando se intentaba ajustar intervalos puros en un número entero). octava), logrando la perfección armónica solo a intervalos restringidos, se dominó algún tipo de temperamento parcial, especialmente en los instrumentos clave.

Las gamas de Pitágoras y Zarlino permitieron construir escalas ligeramente asimétricas que no pudieron responder completamente a las necesidades culturales del Renacimiento tardío y el Barroco temprano, lo que, desde el punto de vista de las dificultades mencionadas anteriormente, establecería un apoyo liberador para La canción llamada temperamento igual.

Desde el punto de vista matemático, el problema era encontrar un factor f correspondiente al intervalo de semitonos que después de multiplicar 12 veces una frecuencia f0 correspondiente a una nota dada, alcanzara su octava para la frecuencia 2. Basado en la progresión geométrica - octava = 2/1; semitono = 2 1/12 -, Euler investigó un sistema de afinación que permitía a los compositores modular hacia y desde cualquiera de los 12 centros tonales (correspondientes a las 12 notas de la escala templada, # = reb, re, re # = mib , fa, fa # = solb, sun, sun # = lab, la, la # = sib, si) sin distorsiones generadas por los intervalos correspondientes que hasta ahora eran asimétricos a diferentes escalas. Desde el punto de vista matemático, el problema fue representado por la siguiente ecuación:

f0.f.f.f.f… f = f0f12 = 2.f0

Después de algunas operaciones algebraicas simples, no es difícil concluir que el valor de f debería asumir un valor de 2 1/12.

Por lo tanto, las calificaciones en esta escala tienen las siguientes relaciones de frecuencia con la calificación inicial:

Del popa mi hacer sol allí si del
1 21/16 21/3 25/12 27/12 23/4 211/12 2


En este punto, también valdría la pena plantearse la pregunta de por qué elegir 12 notas de 300 sonidos diferentes dentro de una octava que pueden ser discriminados por el oído humano entrenado. Probablemente, la división procedió de esta manera por respeto a una cierta continuidad en la escala griega, cuyo proceso de construcción, el camino de las granjas, se presentó de tal manera que el camino esbozado allí supuso, en menos de octavas, la aproximación máxima de la nota. después de 12 ciclos, refiriéndose a las 12 notas.

Por lo tanto, nos damos cuenta de que si la relación de frecuencia es simple, entonces el sonido del rango correspondiente es hermoso, lo que naturalmente sugiere dudas sobre el recíproco, así como muchas otras discusiones.

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